Новости - Нумизматический аукцион. Покупка, продажа монет и антиквариата.

Рис. 1. Трехмерная модель неидеальной монеты. Рис. из обсуждаемой статьи в Physics Reports

Орел или решка? При определенных условиях результат бросания монеты можно точно предсказать. Этими определенными условиями, как показали недавно польские физики-теоретики, являются высокая точность в задании начального положения и скорости падения монеты.

Выпадение орла или решки при бросании монеты — классический пример случайного процесса с равновероятным исходом. Сравнительно недавно появилась статья польских физиков, которые провели теоретическое исследование данного явления и пришли к выводу, что, в принципе, есть возможность точно предсказать результат выпадения монеты.

Ничего экстраординарного в методе исследования данной проблемы физиками не было придумано. Для начала в своей статье они представили монету в виде цилиндра радиусом r и высотой (толщина монеты) h (см. рис. 1)

Далее исследователи говорили уже о монете как о твердом теле, у которого центр масс может совпадать с геометрическим центром (на рис. 1 точки В и С должны быть совмещены — 3D-идеальная монета), либо, что ближе к реальной ситуации, — координаты геометрического центра и центра масс различны (3D-неидеальная монета — см. рис. 1).

Для полного анализа авторы рассматривают в дальнейшем монету не только как 3D-модель, но и упрощают ее двухмерным (2D) вариантом, означающим, что толщину монеты можно не учитывать, h = 0. Почему это возможно, будет сказано ниже.

Падение монеты и ее последующие столкновения с поверхностью описывались с использованием параметров Родрига—Гамильтона. Этот способ описания твердого тела основан на применении аппарата кватернионов (в англоязычной литературе параметры Родрига—Гамильтона называют параметрами Эйлера; не путать с еще одним методом описания — углами Эйлера, Euler angles). Преимущество кватернионного способа состоит в том, что позволяет избежать сингулярностей в процессе решения уравнений движения (почитать о применении кватернионов для описания кинематики и динамики твердого тела можно здесь, PDF, 1 Мб).

Ученые занимались изучением падения монеты достоинством в один злотый, масса которой составляла 2 г, радиус 1,25 см и толщина 0,2 см, и в своих расчетах они исходили из этих параметров. Предполагалось, что центр масс монеты может быть смещен на некоторое расстояние (3D-модель неидеальной монеты), а может быть не смещен (3D-модель идеальной монеты). Аналогичные варианты были рассмотрены и для 2D-моделей с совпадающим и не совпадающим геометрическим центром и центром масс.

Рис. 2. Вектор скорости точки А и его скалярные компоненты непосредственно после столкновения с поверхностью. Рис. из обсуждаемой статьи в Physics Reports

Итак, пусть монета падает с высоты z₀ (иными словами, начальное положение центра масс (x₀, y₀, z₀)), перед началом своего движения она ориентирована в пространстве под углами (ψ₀, θ₀, φ₀), начальная скорость движения центра масс исследуемого объекта (ν₀_x, ν₀_y, ν₀_z) и начальные угловые скорости монеты (ω_ξ₀, ω_ζ₀, ω_η₀). Стоит отметить, что процесс соударения монеты с поверхностью не идеальный (то есть не является ни абсолютно упругим, ни абсолютно неупругим). Существует коэффициент восстановления χ < 1, который равен , где ν_Az и ν'_Az — проекции на ось z скорости точки А непосредственно до и после столкновения с поверхностью (см. рис. 2).

Сопротивление воздуха при падении и вращении монеты также учитывается. Для этого был проведен специальный эксперимент по определению нормального λ_n и тангенциального λ_τ (монета вращается при падении) коэффициентов сопротивления воздуха при падении монеты. Эти величины оказались равными 0,8 и 0,2 соответственно. Результат численного моделирования (решения уравнений движения) падения монеты представлен на рис. 3.

Рис. 3. Результат численного моделирования падения монеты: а) 3D-неидеальная монета, b) 3D-идеальная монета, c) 2D-неидеальная монета, d) 2D-идеальная монета. Рис. из обсуждаемой статьи в Physics Reports

После этого авторы отследили зависимость координаты z (текущей высоты монеты) от времени для случая слабо изменяющейся начальной высоты падения: z₀ = 0,40001 м (рис. 4a), z₀ = 0,40002 м (рис. 4b), z₀ = 0,40003 м (рис. 4c), z₀ = 0,40004 м (рис. 4d), z₀ = 0,40005 м (рис. 4e) и z₀ = 0,40006 м (рис. 4f). Остальные начальные условия были такими: x₀ = y₀ = 0, ν₀_x = ν₀_y = ν₀_z = 0, φ₀ = ψ₀ = 0, θ₀ = 7π/180, ω_ξ₀ = 0, ω_ζ₀ = 0, ω_η₀ = 40,15 рад/с.

Рис. 4. Результаты бросания монеты с высоты a) z0 = 0,40001 м, b) z0 = 0,40002 м, c) z0 = 0,40003 м, d) z0 = 0,40004 м, e) z0 = 0,40005 м и f) z0 = 0,40006 м. Для всех случаев x0 = y0 = 0, ν0x = ν0y = ν0z = 0, φ0 = ψ0 = 0, θ0 = 7π/180, ωξ0 = 0, ωζ0 = 0, ωη0 = 40,15 рад/с, χ = 0,8. Рис. из обсуждаемой статьи. Прямая, параллельная оси t, соответствует координатам центра масс монеты, когда та стоит ребром на поверхности. Рис. из обсуждаемой статьи в Physics Reports

Рис. 4. Результаты бросания монеты с высоты a) z₀ = 0,40001 м, b) z₀ = 0,40002 м, c) z₀ = 0,40003 м, d) z₀ = 0,40004 м, e) z₀ = 0,40005 м и f) z₀ = 0,40006 м. Для всех случаев x₀ = y₀ = 0, ν₀_x = ν₀_y = ν₀_z = 0, φ₀ = ψ₀ = 0, θ₀ = 7π/180, ω_ξ₀ = 0, ω_ζ₀ = 0, ω_η₀ = 40,15 рад/с, χ = 0,8. Рис. из обсуждаемой статьи. Прямая, параллельная оси t, соответствует координатам центра масс монеты, когда та стоит ребром на поверхности. Рис. из обсуждаемой статьи в Physics Reports

Детализированное поведение монеты при столкновении с поверхностью в интервале 1-1,5 секунды движения представлено на рис. 5.

Рис. 5. Детализация графиков, приведенных на рис. 3, в интервале времени от 1 до 1,5 секунд. a) z0 = 0,40001 м, b) z0 = 0,40002 м, c) z0 = 0,40003 м, d) z0 = 0,40004 м, e) z0 = 0,40005 м и f) z0 = 0,40006 м. Для всех случаев x0 = y0 = 0, ν0x = ν0y = ν0z = 0, φ0 = ψ0 = 0, θ0 = 7π/180, ωξ0 = 0, ωζ0 = 0, ωη0 = 40,15 рад/c, χ = 0,8. Рис. из обсуждаемой статьи. Прямая, параллельная оси t, соответствует координатам центра масс монеты, когда та стоит ребром на поверхности. Рис. из обсуждаемой статьи в Physics Reports

Рис. 5. Детализация графиков, приведенных на рис. 3, в интервале времени от 1 до 1,5 секунд. a) z₀ = 0,40001 м, b) z₀ = 0,40002 м, c) z₀ = 0,40003 м, d) z₀ = 0,40004 м, e) z₀ = 0,40005 м и f) z₀ = 0,40006 м. Для всех случаев x₀ = y₀ = 0, ν₀_x = ν₀_y = ν₀_z = 0, φ₀ = ψ₀ = 0, θ₀ = 7π/180, ω_ξ₀ = 0, ω_ζ₀ = 0, ω_η₀ = 40,15 рад/c, χ = 0,8. Рис. из обсуждаемой статьи. Прямая, параллельная оси t, соответствует координатам центра масс монеты, когда та стоит ребром на поверхности. Рис. из обсуждаемой статьи в Physics Reports

Отсюда получаем последовательность, показывающую, как меняется по отношению к наблюдателю сторона монеты, падающей с заданной высоты z₀, при каждом соударении с поверхностью:

H HHH HHH HHH T T T HH для z₀ = 0,40001, где H обозначает орла (head), а T — решку (tail), а кружок разделяет каждое соударение монеты с поверхностью

H HHH HH TT HHH T T T для z₀ = 0,40002

H HHH HHH HH H T T T T T для z₀ = 0,40003

H HHH TTT TTT T H H H H H для z₀ = 0,40004

H HHH HHH TTT HHH H T TT для z₀ = 0,40005

H HHH HHHH TT T HHHHH TT для z₀ = 0,40006.

Интересно, что существует, как показали авторы, два механизма «переключения» стороны монеты с орла на решку и наоборот (рис. 6). Если момент импульса монеты мал, то смена сторон монеты происходит в результате очень коротких, экспоненциально стремящихся к нулю промежутков времени столкновений-«дребезжаний» (рис. 6a; именно эти «дребезжания» и ответственны за возникающую в процессе расчетов последовательность из одинаковых H или T — см. выше); в противном случае, когда момент импульса монеты достаточно большой по сравнению с первым сценарием поведения, «переключение» между сторонами монеты происходит над поверхностью (рис. 6b).

Рис. 6. Два типа соударений монеты, которые приводят к смене стороны монеты: а) последовательность «дребезжаний» монеты с маленьким моментом импульса, b) столкновение с поверхностью монеты с большим моментом импульса. Рис. из обсуждаемой статьи в Physics Reports

В общем, нетрудно заметить, что маленькое изменение одного из начальных условий (в данном случае высоты падения) приводит к значительному отличию траектории движения монеты и, соответственно, к изменению конечного результата выпадения. Особенно хорошо это видно на примере траекторий движения центра масс монеты (рис. 7).

Рис. 7. Траектории центра масс монеты. Начальные условия те же (см. рис. 3 и 4). Рис. из обсуждаемой статьи в Physics Reports

Просуммировав все полученные результаты, исследователи делают локальные выводы по движению монеты:

1) если расстояние между геометрическим центром и центром масс монеты очень мало, то можно без потери точности рассматривать двумерную модель идеальной монеты (то есть не учитывать ее толщину);

2) когда высота падения монеты маленькая, например как в описанных выше примерах численного моделирования, то сопротивления воздуха оказывает очень слабое влияние на результат выпадения, а потому этим сопротивлением можно пренебречь.

Собственно, после всех этих вычислений, моделирований и картинок у читателя наверняка появится вопрос: так почему выпадение орла или решки принято называть случайным процессом?

Ответ кроется в анализе фазовых «портретов» движения монеты. Уравнения, которыми оперируют авторы исследования, определяют временные зависимости шести координат (три декартовых + три угловых). Если зафиксировать все начальные условия кроме, например, двух — z₀ и ω_ξ, — и изобразить фазовое пространство (грубо говоря, множество состояний) монеты для различного количества столкновений, то можно увидеть следующую картину, представленную серией графиков на рис. 8.

Рис. 8. Фазовые «портреты» движения 2D-идеальной монеты, показывающие, для каких двух начальных параметров при зафиксированных остальных четырех, реализуются выпадения орла (черные области), а для каких решки (белые области) после n-го столкновения с поверхностью. (a, e) n = 0, (b, f) n = 2, (c, g) n = 5, (d, h) n = 9. (a–d) — сопротивление воздуха учитывалось, (e–h) — сопротивление воздуха не учитывалось. Рис. из обсуждаемой статьи в Physics Reports

Здесь белые области обозначают множество начальных условий, которые необходимы для выпадения решки, черные участки — для выпадения орла. Чем больше происходит столкновений монеты с поверхностью, тем меньше размеры областей, а значит, уже интервал начальных условий, соответствующих однозначному результату — орлу или решке. Заметим, что речь идет всего лишь о двумерном фазовом пространстве, то есть изменяются лишь два начальных условия. Разумеется, изобразить шестимерное пространство (начальных условий всего 6) сложно, но уже этого примера достаточно для того, чтобы понять насколько высокой должна быть точность в задании начальных условий — малейшее их изменение может сильно повлиять на конечный итог бросания. Физики в таких случаях говорят, что фазовое пространство монеты представляет собой странный аттрактор (наиболее известным примером странного аттрактора является аттрактор Лоренца).

Таким образом, если ставить начальные условия с соответствующей точностью ε, то результат падения монеты можно предсказать. Осталось лишь разобраться, что это за «соответствующая точность». Польские ученые пришли к выводу, что последовательность выпадения монеты будет случайной, если выполняется соотношение ε W, где W — ширина области данного устойчивого состояния монеты. Как видим из рис. 8, соотношение ε W особенно хорошо будет выполняться уже после второго соударения монеты с поверхностью, при этом фазовое пространство монеты напоминает фрактал, поэтому имеет смысл говорить даже о процессе «фрактализации» фазового пространства по мере увеличения столкновений монеты с поверхностью.

Главный результат исследования такой. Хоть разница в граничных условиях между выпадением орла или решки «гладкая», но на практике эта разность настолько мала, что учесть ее в реальности очень сложно — самая маленькая неточность в задании начальных условий приведет к неопределенности в результате предсказания орла или решки (особенно если количество столкновений монеты с поверхностью больше 2).

Источник: J. Strzałko, J. Grabski, A. Stefański, P. Perlikowski, T. Kapitaniak. Dynamics of coin tossing is predictable // Physics Reports (7 September 2008); doi:10.1016/j.physrep.2008.08.003.

Выпадение орла или решки можно точно предсказать